வா்க்கம் எளிமையாக - 3

சென்ற வலைப்பூவில் 100 ஐ விட அதிகமான எண்களின் வர்க்கத்தை எளிமையாக எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று கண்டோம்.  இன்று 1000 ஐ விட அதிகமான எண்களின் வர்க்கங்களை பேனா, பென்சில்,  கால்குலேட்டர்  இல்லாமல் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?... வாருங்கள்....

இப்போது வர்க்கம் என்றால் என்ன என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை காண்போம்.  வர்க்கம் என்றால் ஒரு எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்குவது ஆகும்.  உதாரணமாக 4 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 4x4 =16, 5 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 5x5=25, 6 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 6x6=36..... 

1014, 1025, 1016 போன்ற எண்களுக்கு வர்க்கமூலம் கண்டுபிடிக்க  பின்வரும் வழிமுறைகளை பின்பற்றவேண்டும்.

1014ன் வர்க்கம் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?
1)  முதலில் 1014 என்பது 1000ல் இருந்து எவ்வளவு அதிகமாக உள்ளது என கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.   ( அதாவது 1014 என்பது 1000ல் இருந்து 14 அதிகமாக உள்ளது )
2) அடுத்து 1014 உடன் இந்த 14 ஐக் கூட்ட வேண்டும்.  ( 1014 + 14 = 1028 )
3)  பிறகு கூட்டி வந்த எண்ணுக்குப் பிறகு... அதாவது 1028 க்குப் பிறகு மூன்று இலக்கங்களைச் சேர்க்க வேண்டும் (அதாவது 1000ல்மூன்று பூஜ்ஜிங்கள் உள்ளது.  எனவே மூன்று இலக்கங்களைச் சேர்க்க வேண்டும்)
4)  அந்த மூன்று இலக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்க... முதல் படியில் கண்டுபிடித்தோம் அல்லவா... அதாவது 1000ல் இருந்து எவ்வளவு அதிகம் என்று... அதன் வர்க்கம் காணவேண்டும்.  ( அதாவது 1014 என்பது 1000ல் இருந்து 14 அதிகமாக உள்ளது.  அந்த 14ன் வர்க்கம் காணவேண்டும்.  அதாவது  14x14 = 196)
5)  இப்போது நாம் முதலில் கண்டுபிடித்த (இரண்டாவது படியில்) 1028க்குப் பிறகு இந்த 196ஐ சேர்க்கவேண்டும் (1028196).  1014ன் வர்க்கம் 1028196.
அவ்வளவுதான்.......
1012² = 1024144
1013² = 1026169
1004² = 1008016
1025² = 1050625
சோதித்துப் பாருங்க‌ளேன்... சரியாக இருக்கும்...
மறக்காமல் உங்களுடைய விமர்சனங்களை எழுதுங்கள்.  அது வலைப்பூவை மேம்படுத்த உதவும்.
மீண்டும் அடுத்த வலைப்பூவில் சந்திப்போம்.

கழித்தல்

கழித்தல்:
எளிமையாக கழித்தல் செய்வது எளிது. இடம் மாற்றக் கணக்குகள் செய்வது என்பது சற்றே கடினமாக எண்ணுவோம்.  அதற்கும் ஒரு எளிமையான முறை.

கழித்தல் - படம் -1

படம் -1 ல் 5435 – 2368 என்ற கணக்கை செய்வதற்கான வழிமுறையை தொடங்குவோம்.  முதலில் 5 இலிருந்து 8 ஐக் கழிக்க வேண்டும்.  முடியாது அல்லவா?  (‌a)எனவே நாம் 8க்கு அடுத்துள்ள 6ன் மேல் ஒரு புள்ளியை வைக்க வேண்டும்.  (b) பிறகு 8 உடன் எதைச்சேர்த்தால் 10 ஆகும் எனக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.  இங்கே 8 உடன் 2 ஐச் சேர்க்க 10 வரும் என்பதை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.  (c)  கண்டுபிடித்த 2 உடன் 8க்கு மேல் உள்ள 5ஐ கூட்ட (2+5=7) நமக்கு கிடைப்பது 7 இதுதான் முதல் இலக்கத்தை கழித்து வரும் விடையாக நாம் எழுத வேண்டும். (படம் -2)

கழித்தல் படம்-2

இப்போது 3  இலிருந்து 7  (எப்படி?  6உம் புள்ளிக்கு ஒன்றும் சேர்த்து (6+1=7)  )  ஐக் கழிக்க வேண்டும்.  முடியாது அல்லவா?  (‌a)எனவே நாம் 6க்கு அடுத்துள்ள 3 ன் மேல் ஒரு புள்ளியை வைக்க வேண்டும்.  (b) பிறகு 7  (6உம் புள்ளிக்கு ஒன்றும் (6+1=7)) உடன் எதைச்சேர்த்தால் 10 ஆகும் எனக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.  இங்கே 7 உடன் 3 ஐச் சேர்க்க 10 வரும் என்பதை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.  (c)  கண்டுபிடித்த 3 உடன் 6க்கு மேல் உள்ள 3ஐ கூட்ட (3+3=6) நமக்கு கிடைப்பது 6 இதுதான் இரண்டாம் இலக்கத்தை கழித்து வரும் விடையாக நாம் எழுத வேண்டும். (படம் -3)

கழித்தல் - படம்-3

இப்போது 4  இலிருந்து 4  (எப்படி?  3உம் புள்ளிக்கு ஒன்றும் ‌ சேர்த்து (3+1=4)  )  ஐக் கழிக்க வேண்டும்.  4-4=0.  இங்கே இடம் மாற்ற வேண்டிய ‌சூழ்நிலை ஏற்படவில்லை.  எனவே 0 (பூஜ்ஜியம்) அப்படியே எழுதிவிட வேண்டியதுதான். (படம் -4)

கழித்தல் படம்-4

கடைசியாக 5  இலிருந்து 2   ஐக் கழிக்க வேண்டும்.  5-2=3.  இங்கும் இடம் மாற்ற வேண்டிய ‌சூழ்நிலை ஏற்படவில்லை.  எனவே 2 ஐ அப்படியே எழுதிவிட வேண்டியதுதான். (படம் -5).

கழித்தல் - படம்-5

இந்த கணக்குகளைச் செய்து பாருங்கள்…
(1)  7654 -3876     (2)  654321 -267899

வர்க்கம் ( எளிமையாக ) - 2

சென்ற வலைப்பூவில் 100 ஐ விட குறைவான எண்களின் வர்க்கத்தை எளிமையாக எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று கண்டோம்.  இன்று 100 ஐ விட அதிகமான எண்களின் வர்க்கங்களை பேனா, பென்சில்,  கால்குலேட்டர்  இல்லாமல் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?... வாருங்கள்....

இப்போது வர்க்கம் என்றால் என்ன என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை காண்போம்.  வர்க்கம் என்றால் ஒரு எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்குவது ஆகும்.  உதாரணமாக 4 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 4x4 =16, 5 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 5x5=25, 6 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 6x6=36..... 

104, 105, 106 போன்ற எண்களுக்கு வர்க்கமூலம் கண்டுபிடிக்க  பின்வரும் வழிமுறைகளை பின்பற்றவேண்டும்.

104ன் வர்க்கம் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?
1)  முதலில் 104 என்பது 100ல் இருந்து எவ்வளவு அதிகமாக உள்ளது என கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.   ( அதாவது 104 என்பது 100ல் இருந்து 4 அதிகமாக உள்ளது )
2) அடுத்து 104 உடன் இந்த 4 ஐக் கூட்ட வேண்டும்.  ( 104 + 4 = 108 )
3)  பிறகு கூட்டி வந்த எண்ணுக்குப் பிறகு இரண்டு இலக்கங்களைச் சேர்க்க வேண்டும் (அதாவது 100ல் இரண்டு பூஜ்ஜிங்கள் உள்ளது.  எனவே இரண்டு இலக்கங்களைச் சேர்க்க வேண்டும்)
4)  அந்த இரண்டு எண்களைக் கண்டுபிடிக்க... முதல் படியில் கண்டுபிடித்தோம் அல்லவா... அதாவது 100ல் இருந்து எவ்வளவு அதிகம் என்று... அதன் வர்க்கம் காணவேண்டும்.  ( அதாவது 104 என்பது 100ல் இருந்து 4 அதிகமாக உள்ளது.  அந்த 4ன் வர்க்கம் காணவேண்டும்.  அதாவது  4x4 = 16)
5)  இப்போது நாம் முதலில் கண்டுபிடித்த (இரண்டாவது படியில்) 108க்குப் பிறகு இந்த 16ஐ சேர்க்கவேண்டும் (10816).  104ன் வர்க்கம் 10816.
அவ்வளவுதான்.......
102² = 10404
103² = 10609
104² = 10816
105² = 11025
106² = 11236
107² = 11449
108² = 11664
109² = 11881

சோதித்துப் பாருங்க‌ளேன்... சரியாக இருக்கும்...
மறக்காமல் உங்களுடைய விமர்சனங்களை எழுதுங்கள்.  அது வலைப்பூவை மேம்படுத்த உதவும்.
மீண்டும் அடுத்த வலைப்பூவில் சந்திப்போம்.

வர்க்கம் (எளிமையாக) - 1

வர்க்கம் என்றால் ஒரு எண்ணை அதே எண்ணால் பெருக்குவது ஆகும்.  உதாரணமாக 4 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 4x4 =16, 5 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 5x5=25, 6 என்ற எண்ணின் வர்க்கம் 6x6=36..... சிறிய எண்களின் வர்க்கம் எளிமையாக கண்டுபிடிக்கலாம்.  94, 95, 96 போன்ற எண்களுக்கு வர்க்கமூலம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால் நமக்கு ஒரு தாள் மற்றும் பேனா தேவை;  அல்லது கால்குலேட்டர் தேவை.  இது இரண்டும் இல்லாமல் இந்த எண்களின் வர்க்கம் காண்பது எப்படி என்று இன்று காண்போம்.
94ன் வர்க்கம் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?
1)  முதலில் 94 என்பது 100ல் இருந்து எவ்வளவு குறைவாக உள்ளது என கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.   ( அதாவது 94 என்பது 100ல் இருந்து 6 குறைவாக உள்ளது )
2) அடுத்து 94 ல் இருந்து இந்த 6 ஐக் கழிக்க வேண்டும்.  ( 94 - 6 = 88 )
3)  பிறகு கழித்த எண்ணுக்குப் பிறகு இரண்டு இலக்கங்களைச் சேர்க்க வேண்டும் (அதாவது 100ல் இரண்டு பூஜ்ஜிங்கள் உள்ளது.  எனவே இரண்டு இலக்கங்களைச் சேர்க்க வேண்டும்)
4)  அந்த இரண்டு எண்களைக் கண்டுபிடிக்க... முதல் படியில் கண்டுபிடித்தோம் அல்லவா... அதாவது 100ல் இருந்து எவ்வளவு குறைவு என்று... அதன் வர்க்கம் காணவேண்டும்.  ( அதாவது 94 என்பது 100ல் இருந்து 6 குறைவாக உள்ளது.  அந்த 6ன் வர்க்கம் காணவேண்டும்.  அதாவது  6x6 = 36)
5)  இப்போது நாம் முதலில் கண்டுபிடித்த (இரண்டாவது படியில்) 88க்குப் பிறகு இந்த 36ஐ சேர்க்கவேண்டும் (8836).  94ன் வர்க்கம் 8836.
அவ்வளவுதான்.......
94x94 = 8836
95x95=9025
96x96=9216
97x97=9409
98x98=9604
99x99=9801
சோதித்துப் பாருங்க‌ளேன்... சரியாக இருக்கும்...
மறக்காமல் உங்களுடைய விமர்சனங்களை எழுதுங்கள்.  அது வலைப்பூவை மேம்படுத்த உதவும்.
மீண்டும் அடுத்த வலைப்பூவில் சந்திப்போம்.

கணித சுருக்கு வழிகள் (Shortcuts of mathematics)

கணக்கு என்றாலே நம்மில் ‌பலருக்கு கசப்பான மருந்தை சாப்பிடுவதற்கு ஒப்பாக நினைப்பதற்குக் காரணம் அதன் வாய்ப்பாடுகளே.
அதிலும் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு என்றால் பலருக்கும் நினைவுக்கு வருவது பள்ளியில் கணக்கு ஆசிரியரிடம் வாங்கிய குட்டுதான் (எனக்கும்தான்).
இதிலிருந்து விடுபட வழியே இல்லையா!
எனக்குத் ‌தெரிந்த, நான் எளிதாக கற்றுக்கொள்ளலாம் என்று நினைக்கும் சில எளிய வழியை பகிர்ந்து கொள்ளலாம்  என எண்ணுகி‌றேன்.

படம்-1 (புள்ளியைக் கவனிக்கவும்)

முதலில் கூட்டல்:

கூட்டலில் என்ன சுருக்கு வழி?  கூட்டல் எளிதுதா‌னே…  ஆனாலும் பாருங்கள்… ஒரு பத்து  அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை ஒரே நேரத்தில் கூட்ட வேண்டுமென்றால் … அதற்குத்தான் இது.
உதாரணமாக, மூ ன்று எண்களை எடுத்துக்கொள்வோம்.

465 + 786 + 598 = ?

1) முதலில் படம் – 1 ல் உள்ளதுபோல வரிசையாக
எழுதிக் கொள்ளவும்.
2)  வழக்கமான கூட்டல் போல 8+6 = 14 எனக்  கூட்டவும்.
3) இப்போது 14ல் உள்ள 10க்குப் பதிலாக 6-ன் மேல் ஒரு புள்ளியை வைக்கவும்.  இப்போது நம்மிடம் இருப்பது 14 அல்ல; 4 மட்டும்தான்.
4) இப்போது 4 உடன் அடுத்து உள்ள  5  ஐக் கூட்ட நமக்கு கிடைப்பது 9. அதை இப்போது கீழே எழுதிக்கொள்ளவும். படம் 2 ஐப் பார்க்க.

படம் - 2

5) இப்போது முதல் வரிசையில் (ஒன்றாம் இலக்கத்தில்) உள்ள புள்ளிகளை  மீதியாகக் கொள்ளவு
ம்.  இங்கே ஒரு புள்ளி மட்டுமே இருப்பதால் 1 என்பது மீதியாக இரண்டாம் வரிசையின்  (பத்தாம் இலக்கம்) மேல் எழுதிக் கொள்ளவும்.

படம் -3

6) பிறகு வழக்கம் போல் இரண்டாவது வரிசையைக் (பத்தாம் இலக்கம்) கூட்ட ஆரம்பிக்க வேண்டும்.  9+8 =17.   கூட்டுத்தொகை 10-க்கு மேல் ‌போய்விட்டது; எனவே அந்த 10-க்கு பதிலாக 8 – ன் மேல் ஒரு புள்ளியை வைத்துவிட வேண்டும்.  இப்போது நம்மிடம் இருப்பது 17 அல்ல… 7 மட்டுமே. (படம் – 3 ஐப் பார்க்க)
7)  மீண்டும்… 7 + 6 = 13.   இப்போதும் கூட்டுத்தொகை 10-க்கு மேல் ‌போய்விட்டது; எனவே அந்த 10-க்கு பதிலாக 6 – ன் மேல் ஒரு புள்ளியை வைத்துவிட வேண்டும்.  இப்போது நம்மிடம் இருப்பது 13 அல்ல… 3 மட்டுமே.   அடுத்து  3 +1 =4.  மேலும் அதற்கு மேல் கூட்டுவதற்கு எண்கள் இல்லை. எனவே நம்மிடம் உள்ள 4 ஐ  கூட்டுத்தொகையாக எழுதிவிட வேண்டியதுதான். (படம் – 4)
8) இந்த வரிசையில் (பத்தாம் இலக்கத்தில்)  உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டு.   ஆகா! கண்டுபிடித்துவிட்டீர்க‌ளே.  அதுதான் இந்த இலக்கத்திலிருந்து மீதியாக அடுத்த இலக்கத்திற்குச் செல்கிறது.

படம் - 4

9) இப்போது இரண்டாவது வரிசையில் (பத்தாம் இலக்கத்தில்) உள்ள புள்ளிகளை  மீதியாகக் கொள்ளவும்.  இங்கே இரண்டு புள்ளிகள்  இருப்பதால்  (நீங்கள்தான் கண்டுபிடித்துவிட்டீர்களே) 2 என்பது மீதியாக மூன்றாவது வரிசையில்  (நூறாம் இலக்கம்) மேல் எழுதிக் கொள்ளவும். (படம் – 5 ஐப் பார்க்க)
10)  பிறகு வழக்கம் போல் மூன்றாவது வரிசையைக் (நூறாவது இலக்கம்) கூட்ட ஆரம்பிக்க வேண்டும்.  5+7 =12.   கூட்டுத்தொகை 10-க்கு மேல் ‌போய்விட்டது; எனவே அந்த 10-க்கு பதிலாக 7 – ன் மேல் ஒரு புள்ளியை வைத்துவிட வேண்டும்.  இப்போது நம்மிடம் இருப்பது 12 அல்ல… 2 மட்டுமே. (படம் – 4 ஐப் பார்க்க)
7)  பிறகு …  2 + 4 = 6.  பிறகு…….  6 +2 =8.  மேலும் அதற்கு மேல் கூட்டுவதற்கு எண்கள் இல்லை. எனவே நம்மிடம் உள்ள 8 ஐ  கூட்டுத்தொகையாக எழுதிவிட வேண்டியதுதான்.
8) இந்த வரிசையில் (நூறாவது இலக்கத்தில்)  உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒன்று.   எனவே அது அடுத்த இலக்கத்தின் மீதியாகச் செல்லவேண்டும் என்பது நமக்குத் தெரியும்தானே.  ஆனால் மேலும் கூட்டுவதற்கு இலக்கங்கள் இல்லை.  ஆகவே அதை நாம் விடையாக எழுதிவிட வேண்டியதுதான்.  படம் – 5 ஐப் பார்க்க.

படம் - 5

இப்போது நாம் விடையைக் கண்டு பிடித்துவிட்டோம்.
இவ்வாறு கூட்டும்போது நாம் 10-க்குப் பதிலாக ஒரு புள்ளியை வைப்பதால் நாம் கூட்டும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை எப்‌போதும் மிக எளிமையாகவே இருக்கும்  (கூட்டுத்தொகை மிக அதிகபட்சமாக 18 மட்டுமே வரும்).  எனவே கூட்டுத்தொகையை நம் நினைவில் இருத்திக்கொள்வது மிகவும் எளிமையாக இருக்கும்.  தவறுகள் நேரக்கூடிய தருணம் மிகமிகக் குறைவாகவே இருக்கும்.
மற்றும் கணக்கை மிகவும் விரைவாகச் செய்து முடிக்கலாம்.
உங்களின் பயிற்சிக்காக…
1)      859 + 816 + 287 = 1962
2)  4127 + 2812 +  4356 +2458 = 13753
இந்த முறையை பயன்படுத்தி பலமுறை கணக்குகளைச் செய்து பார்த்த பிறகு கீழே உள்ள கணக்கை இந்த முறையிலும், கால்குலேட்டரிலும் செய்து பாருங்கள்…. நீங்களே வெற்றிபெறுவீர்கள்.
18+19+17+18+16+18+14+17+21+21+22+19+18+13+16+17+15+12+19+21+22=??????????? (இது போன்ற மிக நீண்ட கணக்குகளைச் செய்ய கால்குலேட்டரில் நாம் செய்யும் ‌வேலை ரொம்ம்ம்ம்பவே அதிகம்;  நீங்கள்தான் கண்டிப்பாக வெற்றியாளர்)